lim_{n to infty} left[ frac{1}{n}sin left( fr | vedclass

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Question

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\lim_{n 	o \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n} f\left(\frac{r}{n}ight)$ के रूप में एक रीमान योग है,जहाँ $f(x) = \sin x \cos^2

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{3}(1 - \cos^3 1)$

Vedclass · Answer

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\lim_{n 	o \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n} f\left(\frac{r}{n}ight)$ के रूप में एक रीमान योग है,जहाँ $f(x) = \sin x \cos^2 x$ है।यह सीमा निश्चित समाकलन $\int_{0}^{1} \sin x \cos^2 x \, dx$ के बराबर है।माना $t = \cos x$,तो $dt = -\sin x \, dx$,या $\sin x \, dx = -dt$ होगा।जब $x = 0$,तो $t = \cos 0 = 1$। जब $x = 1$,तो $t = \cos 1$ होगा।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$\int_{1}^{\cos 1} t^2 (-dt) = \int_{\cos 1}^{1} t^2 \, dt$ प्राप्त होता है।समाकलन का मूल्यांकन करने पर:$\left[ \frac{t^3}{3} ight]_{\cos 1}^{1} = \frac{1}{3} (1^3 - \cos^3 1) = \frac{1}{3}(1 - \cos^3 1)$ प्राप्त होता है।

$\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n}\sin \left( \frac{1}{n} \right)\left( \cos \left( \frac{1}{n} \right) \right)^2 + \frac{1}{n}\sin \left( \frac{2}{n} \right)\left( \cos \left( \frac{2}{n} \right) \right)^2 + \dots + \frac{1}{n}(\sin 1)(\cos 1)^2 \right]$ का मान क्या है?

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$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{n^2-1^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-2^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-3^2}}{n^2}+\ldots+\frac{\sqrt{n^2-n^2}}{n^2}\right]=$

निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए:
$\int_{0}^{4} (x + e^{2x}) \, dx$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{k}{{{n^2} + {k^2}}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

योगफल की सीमा के रूप में $\int_{0}^{1} e^{2-3 x} d x$ का मूल्यांकन कीजिए।

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